3.3 Simultaneous Equations on Graphs - 章节练习

答案：
交点坐标为 \( (1, 2) \)，因此联立方程的解为 \( x = 1, y = 2 \)。

答案：
代入消元：\( x^2 = 3x - 2 \)，整理得 \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)。
解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 2 \)。
当 \( x = 1 \) 时，\( y = 3(1) - 2 = 1 \)。
当 \( x = 2 \) 时，\( y = 3(2) - 2 = 4 \)。
交点坐标为 \( (1, 1) \) 和 \( (2, 4) \)。

答案：
代入消元：\( x^2 + 3x + 4 = 2x + 5 \)，整理得 \( x^2 + x - 1 = 0 \)。
判别式 \( \Delta = 1 + 4 = 5 > 0 \)，有两个不同实根。
因此直线与抛物线有两个交点。

答案：
代入消元：\( x^2 - 2x + 3 = kx + 1 \)，整理得 \( x^2 - (k+2)x + 2 = 0 \)。
判别式 \( \Delta = (k+2)^2 - 8 = 0 \)，解得 \( k+2 = \pm 2\sqrt{2} \)。
\( k = -2 + 2\sqrt{2} \) 或 \( k = -2 - 2\sqrt{2} \)。

答案：
a. 当 \( m = 1 \) 时：\( y = x + 2 \)，代入圆方程：
\( x^2 + (x + 2)^2 = 4 \)，整理得 \( 2x^2 + 4x + 4 = 4 \)，
\( 2x^2 + 4x = 0 \)，\( 2x(x + 2) = 0 \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( x = -2 \)。
当 \( x = 0 \) 时，\( y = 2 \); 当 \( x = -2 \) 时，\( y = 0 \)。
交点坐标为 \( (0, 2) \) 和 \( (-2, 0) \)。

b. 一般情况：\( y = mx + 2 \)，代入圆方程：
\( x^2 + (mx + 2)^2 = 4 \)，整理得 \( (1 + m^2)x^2 + 4mx + 4 = 4 \)，
\( (1 + m^2)x^2 + 4mx = 0 \)，\( x[(1 + m^2)x + 4m] = 0 \)。
判别式 \( \Delta = 16m^2 - 4(1 + m^2)(0) = 16m^2 = 0 \)，得 \( m = 0 \)。